مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی در نرم افزار کامسول

در سال 1875، برای اولین بار جان کر سیم‌های حامل جریان را در سوراخ‌های اطراف تخته شیشه‌ ای قرار داد که باعث ایجاد یک میدان الکتریکی شد. پس از عبور یک پرتو پلاریزه شده از تخته، متوجه شد که در دو طرف تخته پلاریزاسیون متفاوت است. این تفاوت مربوط به تغییر در ضریب شکست شیشه است که متناسب با مربع میدان الکتریکی است (این پدیده به نام اثر Kerr شناخته می‌شود). در ادامه نحوه مدلسازی این اثر و مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی را مشاهده میکنید.

درک حساسیت مواد نوری غیرخطی

هنگامی که یک میدان الکترومغناطیسی به یک ماده دی الکتریک اعمال می‌شود میدان، الکترون را در مدار اصلی خود جابجا می‌کند و باعث می‌شود الکترون در فرکانس خاصی نوسان کند. در واقع می‌توان گفت میدان، مواد را پلاریزه می‌کند. میدان جابجایی در این حالت به عنوان تابعی از میدان الکتریکی اعمال‌شده به شرح زیر نمایش داده می‌شود:

D=Ɛ0E+P= Ɛ0E+ Ɛ0X0E

که در آن E بردار میدان الکتریکی اعمال‌شده، P بردار پلاریزاسیون القایی، Ɛ0گذردهی خلأ و X0 حساسیت به ایزوتروپیک است.

در مورد یک ماده دی الکتریک غیر ایزوتوپ، بردار پلاریزاسیون القایی تابعی از تانسور حساسیت است به شرح زیر:

سرانجام، در مورد یک ماده دی الکتریک غیرخطی، پلاریزاسیون القایی را می‌توان به عنوان تابعی از میدان الکتریکی درون محیط از طریق حساسیت (X) محیط و با استفاده از بسط سری توانی، به شرح زیر بیان کرد:

که در آن E میدان الکتریکی اعمال‌شده، ε₀ گذردهی خلأ و X(i)حساسیت مرتبه دوم است.

فرض بر این است که هیچ پلاریزاسیون مستقل از E وجود ندارد. برای به دست آوردن مشتق کامل از پلاریزاسیون با اصطلاحات غیرخطی، به کتاب اثر Y. R. Shen مراجعه کنید (منبع 5).

حساسیت مرتبه اول مواد نوری (مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی)

حساسیت مرتبه اول (X(1)) با تغییرات ضریب شکست ناشی از نوسان دوقطبی حامل‌های محدود و آزاد مانند الکترون‌ها سرو کار دارد. هندریک لورنتز در ابتدا ایده ایجاد یک مدل نوسان‌ساز ریاضی را ارائه داد که می‌تواند نوسان دوقطبی الکترون‌های محدود را به حساسیت مواد مرتبط سازد. پاول درود، ایده نوسان درون نیمه‌هادی‌ها را که با حامل‌های آزاد درون ماده سروکار دارد، ایجاد کرد. پس از ترکیب اثرات حامل‌های محدود و آزاد، مدل جدید با عنوان مدل Drude-Lorentz نام گرفت.

در نرم‌افزار® COMSOL Multiphysics می‌توان از مدل Drude-Lorentz برای تعریف گذردهی نسبی یک ماده استفاده کرد. برای تعریف مدل Drude-Lorentz باید گذردهی نسبی در فرکانس بالا، فرکانس پلاسما، فرکانس رزونانس و ضریب میرایی به عنوان ورودی داده شود، همان‌طور که در زیر نشان داده شده است. هنگام اختصاص هر یک از سهم‌های اسیلاتورها نیز می‌توان اسیلاتورهای متعددی اضافه کرد.

که در آن ε_r گذردهی نسبی پیچیده مواد، _∞ε سهم انتقال بین باند در گذردهی، ω_p فرکانس پلاسما و Γ ضریب میرایی است.

مدل‌سازی فیلتر موجبر پلاسمونیک (Plasmonic Waveguide)

برای به نمایش گذاشتن توانایی COMSOL Multiphysics در مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی شامل مدل مواد Drude-Lorentz، یک موجبر با رابط فلز-عایق-فلز (MIM) مدل‌سازی شده است. در اینجا، فلز و عایق به ترتیب به صورت نقره و هوا مدل می‌شوند. در این پیکربندی، عرض عایق به صورت تناوبی در امتداد موجبر تغییر می‌کند (شکل زیر را ببینید). این چیدمان خاص عایق، باعث می‌شود که موجبر مانند فیلتری معروف به “فیلتر موجبر پلاسمونیک” عمل کند.

این مثال نشان می‌دهد که موجبر، تابش الکترومغناطیسی طول موج بین 1.4 ام تا 1.6 ام را رد می‌کند، اما به بقیه طول موج اجازه عبور می‌دهد (شکل زیر را ببینید). مواد نقره‌ای را می‌توان با استفاده از تقریب Drude-Lorentz با ε_∞ = 3.7, ω_p = 13.8 rad/s و Γ = 2.736 rad/s مدل‌سازی کرد، در حالی که عایق با استفاده از هوا مدل‌سازی می‌شود. همچنین به عنوان جایگزینی برای تقریب مدل مواد Drude-Lorentz، می‌توان از ویژگی ماده تعیین‌شده توسط داده‌های آزمایشی جانسون و کریستی (Ref. 4)، که در کتابخانه مواد با عنوان (Ag (Johnson موجود است، استفاده کرد.

توجه داشته باشید که مشخصه خروجی فیلتر موجبر پلاسمونیک مشابه پیکربندی (Fiber Bragg Grating (FBG است.

شماتیک فیلتر موجبر پلاسمونیک. که رنگ آبی و خاکستری به ترتیب عایق و فلز هستند. خط تیره یک سلول واحد را نشان می‌دهد که به صورت تناوبی تکرار می‌شود.

طرح مقایسه نتایج برای انتقال و بازتاب یک فیلتر موجبر پلاسمونیک. که انتقال و بازتاب از طریق فیلتر گریتینگ پلاسمونیک (با 10 واحد سلول) با استفاده از هر دو مدل Drude-Lorentz و (Ag (Johnson از کتابخانه مواد انجام شده است. می‌توانید فایل MPH این مدل را از Application Gallery بارگیری کنید.

حساسیت مرتبه دوم مواد نوری (مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی)

بلورهای غیرخطی وجود دارند که حساسیت مرتبه دوم نسبتاً بالایی را نشان می‌دهند (X(2)). هنگامی که یک پرتو نور تک‌رنگ وارد و از چنین بلوری غیرخطی عبور می‌کند، نه‌تنها طیف فرکانس خروجی، فرکانس اصلی (ω) را نشان می‌دهد، بلکه فرکانس هارمونیک مرتبه دوم (2ω) را نیز نشان می‌دهد. از این رو، این پدیده را نسل دوم هارمونیک (SHG) می‌نامند.

کاربرد SHG در زمینه طراحی و مهندسی لیزر است، جایی که یافتن ماده‌ای برای خارج کردن نور با طول موج کوتاه‌تر را به چالش می‌کشد. به عنوان مثال، هنگامی که یک منبع نور مادون قرمز (1064 نانومتر) از طریق یک کریستال پتاسیم دی هیدروژن فسفات (KDP) پمپ می‌شود، کریستال منبع سبز (532 نانومتر) نور لیزر را بیرون می‌کشد.

در Multiphysics COMSOL، این روش را می‌توان با آنالیز گذرا یا دامنه فرکانس، مدل‌سازی کرد که در آن پلاریزاسیون با استفاده از ضریب غیرخطی (d) تعریف می‌شود، همان‌طور که در زیر نشان داده شده است. مثلاً در آنالیز گذرا پرتو، اصطلاح غیرخطی وابسته به میدان الکتریکی باید به عنوان میدان جابجایی الکتریکی (D) معرفی شود. روشی که در این مدل مدنظر است، استفاده هوشمندانه از جابجایی الکتریکی باقیمانده (Dr) است. در حقیقت، جابجایی الکتریکی باقیمانده نیز می‌تواند یک مقدار میدان غیرخطی را قبول کند، که شامل مربع یکی از اجزای میدان الکتریکی است. این فرمول، روش تولید فرکانس مجموع و همچنین تولید فرکانس تفاوت را نشان می‌دهد.

D= Ɛ0 ƐrE+Dr

که در آن d33, ضریب غیرخطی و Ez جزء z در میدان الکتریکی است.

با آنالیز دامنه فرکانس پرتو، تنها یک فرکانس خاص می‌تواند در یک نمونه تجزیه و تحلیل شود (به عبارت دیگر، تنها یک فرکانس با معادله هلمولتز قابل آنالیز است). از این رو، این مدل دو رابط را تنظیم می‌کند و دو فیزیک را جفت می‌کند. رابط اول نشان‌دهنده موج اساسی است، در حالی که رابط دوم فرکانس هارمونیک دوم را نشان می‌دهد. پلاریزاسیون رابط اول (P1y) و رابط دوم (P2y) را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:

که در آن d ضریب غیرخطی، E1yجز y میدان الکتریکی در فرکانس اساسی و E2yجز y میدان الکتریکی در فرکانس هارمونیک دوم است.

شکل بالا: طیف فرکانس خروجی را نشان می‌دهد. که تفاوت پیک کوچک موجود در سمت چپ پیک بزرگ، میزان تفاوت ایجاد فرکانس را نشان می‌دهد، در حالی که پیک کوچک در سمت راست، SHG را نشان می‌دهد. شکل پایین: اجزای y میدان‌های الکتریکی برای فرکانس اساسی و هارمونیک دوم نشان می‌دهد.

حساسیت مرتبه سوم مواد نوری (مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی)

موادی که دارای حساسیت مرتبه سوم (X(3)) هستند، پدیده‌هایی مانند اثر نوری Kerr، مدولاسیون خود-فاز، مدولاسیون فاز-متقابل، تولید هارمونیک سوم و اختلاط چهار-موج را به نمایش می‌گذارند. برای نشان دادن اثر نوری Kerr در چند فیزیکی COMSOL Multiphysics، یک پرتو نور تک‌رنگ (به ترتیب GW/cm2) از طریق یک کریستال غیرخطی ساخته‌شده از BK-7 پخش می‌شود (مانند منبع لیزر Nd: YAG). با توجه به غیرخطی بودن درجه سوم مواد در BK-7، ضریب شکست به عنوان تابعی از شدت پرتو (I) در نور ورودی تک‌رنگ تغییر می‌کند که به شرح زیر است:

n=n0+ƳI

که در آن n₀ ثابت (خطی) ضریب شکست، γ ضریب شکست غیرخطی و I شدت پرتو است.

پرتو فضایی راه‌اندازی شده توسط Gaussian باعث ایجاد یک نمای Gaussian مکانی از ضریب شکست، با اوج در مرکز و کاهش شعاعی به سمت خارج می‌شود. این نمایه ضریب شکست باعث می‌شود تا پرتو نور هنگام انتشار از طریق بلور در مرکز بیشتر تمرکز کند. این پدیده را “خود-تمرکز یک پرتوی لیزر” می‌نامند، به ویژه به این دلیل که پرتوی منبع، مسئول تمرکز خود است. این اثر به ویژه در مهندسی لیزر بسیار مفید است. اما خود-متمرکز شدن یک منبع نور با قدرت بالا در رژیم مرکزی باریک می‌تواند به طور دائمی به بلور آسیب برساند، از این رو نیاز به مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی و جبران این اثرات در فرآیند طراحی است.

شکل بالا: تغییر ضریب شکست ناشی از γI، برای شدت اوج بالا، I₀ = 14 GW/cm². شکل پایین: شعاع نقطه‌ای در انتهای حوزه انتشار در مقابل شدت پیک.

موادی با اثر الکترو-اپتیک

موادی وجود دارد که ضریب شکست محیط می‌تواند تابعی از میدان الکتریکی خارجی اعمال‌شده باشد، همان‌طور که در ابتدای این پست وبلاگ شرح داده شده است. این میدان الکتریکی اعمال‌شده می‌تواند یا ناشی از پتانسیل DC باشد و یا ناشی از پتانسیل هارمونیک متغیر باشد که از طریق سیم‌پیچ‌ها یا پدهای تماسی متصل به ماده، اعمال می‌شود. خاصیت ضریب شکست ماده نوری در اینجا به جای حساسیت χ در نظر گرفته می‌شود.

از نظر ریاضی، ضریب شکست می‌تواند به عنوان یک بسط سری Taylor در زمینه E بکار گرفته شود.

برای مواد الکترو نوری، ضریب شکست به موارد زیر تبدیل می‌شود:

که در آن n ضریب شکست ماده بدون میدان E اعمال شده است، در حالی که d₁ و d₂ ضرایب الکترو-اپتیک هستند.

اثر Pockels

بلورهایی مانند KDP، لیتیوم نیوبات (LiNbO3) و تلوراید کادمیوم (CdTe) دارای ضریب شکست با عبارات اول و دوم بالاتر هستند. چنین رسانه‌هایی به عنوان رسانه Pockels شناخته می‌شوند، جایی که d₁ به عنوان ضریب نوری خطی شناخته می‌شود زیرا ضریب شکست یک عملکرد خطی از میدان الکتریکی است.

در Multiphysics COMSOL، اثر Pockels با استفاده از یک مدولاتور نوری نشان داده شده است. در این مدل، نور از طریق یک موجبر سیلیکونی منشعب می‌شود که به دو موجبر تبدیل می‌شود. همان‌طور که در تصویر زیر نشان داده شده است، پدهای تماسی به شاخه بالایی اعمال می‌شوند و با ولتاژ DC تحریک می‌شوند. این شاخه موجبر همچنین می‌تواند به عنوان یک محیط Pockels با d1 = 30e-12 m/V تعریف شود.

وقتی هیچ ولتاژی بر روی لنت‌های تماسی وارد نشود، نور از طریق شاخه‌های فوقانی و تحتانی جریان می‌یابد و در نقطه‌ای که شاخه‌ها باهم ادغام می‌شوند، به طور سازنده تداخل پیدا می‌کند. با این حال، هنگامی که ولتاژ خاصی روی پدهای تماس اعمال می‌شود، یک میدان الکتریکی محلی در منطقه در لنت‌های تماس ایجاد می‌شود. خاصیت مواد در منطقه تحت تأثیر یک میدان الکتریکی خارجی، ضریب شکست این محیط را اصلاح می‌کند و سرعت انتشار نور از طریق موجبر بالا را تغییر می‌دهد. در نتیجه هنگامی که انتشار نور در شاخه‌های فوقانی و تحتانی در محل ادغام شاخه‌ها تداخل ایجاد می‌کند، منجر به تداخل مخرب می‌شود، بدون اینکه نور در جلو پخش شود.

کاربرد بالقوه اثر Pockels در طراحی سوئیچ‌های نوری نهفته است. به عنوان مثال، در زمینه مدارهای فوتونیک در یک مدل آموزشی، ما نوع خاصی از عنصر سوئیچینگ نوری را نشان می‌دهیم که به عنوان یک “مدولاتور نوری Mach-Zehnder”شناخته می‌شود.

شماتیک مدولاتور نوری Mach-Zehnder.

انتقال شاخه خروجی فوقانی 1 و شاخه خروجی تحتانی 2 در مقابل ولتاژ DC اعمال شده.

اثر نوری Kerr

گازها، مایعات و کریستال‌های خاصی وجود دارند که خاصیت سانتروسیمتری را نشان می‌دهند، جایی که دوره اول و سوم انبساط تیلور غالب است. در چنین مواردی، ضریب شکست می‌تواند به عنوان تابعی درجه دوم از میدان E اعمال شده به شرح زیر تعریف شود:

نتیجه‌گیری در زمینه مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی

در مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی در مورد مواد نوری مختلف مانند KDP، BK-7، LiNbO3، CdTe و سیلیکون تحت یک میدان الکتریکی خارجی بحث شد. این مواد پدیده‌های خطی و غیرخطی مختلفی مانند SHG، اثرات میدان الکتریکی خطی و درجه دوم را نشان می‌دهند. همچنین در در مدل سازی اپتیک های خطی و غیر خطی به کاربردهای این مواد در زمینه مهندسی لیزر، طراحی فیلتر و سوئیچ‌های نوری پرداخته شد.

مراحل بعدی

آموزش‌های ارائه شده در این پست وبلاگ را امتحان کنید:

منابع

J. Leuthold, C. Koos, and W. Freude, “Nonlinear silicon photonics”, NaturePhotonics, vol. 4, pp. 535–544, 2010.
Z. Han, E. Forsberg, and S. He, “Surface Plasmon Bragg Gratings Formed in Metal-Insulator-Metal Waveguides,” IEEE Photonics Technology Letters, vol. 19, no. 2, pp. 91–93, Jan. 15, 2007.
B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, Inc.
P. B. Johnson and R. W. Christy, “Optical constants of the noble metals,” Phys. Rev. B, vol. 6, no. 12, pp. 4370–4379, Dec. 15, 1972.
Y. R. Shen, The Principles of Nonlinear Optics, John Wiley & Sons, Inc.

این متن از وبسایت comsol به فارسی با عنوان مدل‌سازی اپتیک‌های خطی و غیرخطی در نرم‌افزار® COMSOL Multiphysics برگردان شده است، استفاده از ترجمه با ذکر نام کامسولفا مجاز است. مشاهده متن اصلی